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罗迪奥诺夫:解析数论的解析数论的发展

时间:2018-12-25 03:20来源:www.90011.com
1896年,J.(-S.)阿达马与C.de la瓦莱-普桑严格地按照黎曼提出的方法和结果,用整函数理论,同时证明了素数定理:当x时,(x)~x(lnx)-1。从此解析数论开始得到迅速发展,而在此以前的30年中

  1896年,J.(-S.)阿达马与C.de la瓦莱-普桑严格地按照黎曼提出的方法和结果,用整函数理论,同时证明了素数定理:当x→∞时,π(x)~x(lnx)-1。从此解析数论开始得到迅速发展,而在此以前的30年中却无显著进展。 在数论中应用分析方法,大致有两种情况:一是数论问题本身不涉及分析概念。这类问题又可分为两种情形,或者有一些问题不应用分析方法就不能解决,例如,上述的狄利克雷的两个工作、三素数定理(见数论、堆垒数论)、华林问题;或者有一些问题应用分析方法可使证明简单、可以对问题做定量研究,例如,应用母函数法对整数分拆的一些恒等式的证明、欧拉证明素数有无穷多个的分析方法导致H.默滕斯证明了关于素数平均分布的三个定理、堆垒数论的许多问题引入分析方法证明解的存在性,得出解数的渐近公式或上下界估计。二是数论问题本身必须用分析概念才能表达清楚。例如,关于素数定理,即不大于x的素数个数π(x)等于多少的问题(见素数分布)。此外,利用分析概念还可提出新的数论问题,例如各种数论函数的阶估计及均值估计(见格点问题)。解决一个数论问题需要用到多深的分析工具,或者能否不用分析工具。这也是数学家努力为之探索的问题。例如,在1949年A.赛尔伯格与P.爱尔特希不利用ζ函数,且除了极限、ex和lnx的性质外,也不需要其他的分析知识,给出了素数定理一个十分初等的分析证明。当然它是很复杂的。 解析数论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究。解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等。模形式论与解析数论有密切关系。

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